Интуиции о том, что существуют экстремальные виды страданий, которые нельзя перевесить никаким количеством счастья и которые важнее любого количества лёгких страданий, — нарушают аксиому непрерывности в теореме фон Неймана и Моргенштерна (vNM) о полезности. Значит ли это, что если вы считаете (например, как пороговые негативные утилитаристы), что экстремальное страдание невозможно перевесить, то ваши предпочтения невозможно выразить с помощью функции полезности? Неужели вы не можете максимизировать ожидаемую полезность? Иррационально ли придерживаться таких предпочтений?

Оказывается, есть теорема, которая гласит, что такие предпочтения всё же можно представить функцией полезности, просто она будет лежать в более широком классе функций. Такая функция не обязательно вещественнозначна, она может принимать значения из более сложного множества значений полезности. Более конкретно, если не требовать выполнения аксиомы непрерывности, то всегда существует функция полезности, которая отображает исходы в векторы лексикографически упорядоченного пространства с вещественными координатами, и которая точно отражает заданные предпочтения. Очень хорошее и вполне доступное (для математически подкованных читателей) изложение этой темы есть в работе Blume, Brandenburger & Dekel (1989), главах 1 и 2.

Сложности возникают, если пространство возможных исходов (которым присваиваются значения полезности) бесконечно. Это позволяет существовать бесконечному числу порогов, т.е. бесконечной иерархии исходов, каждый уровень в которой бесконечно лучше предыдущих уровней. Такую ситуацию уже нельзя описать с помощью конечномерного лексикографически упорядоченного пространства вещественных векторов. Однако в этом случае можно отображать лотереи (случайные исходы) в бесконечномерное пространство с таким лексикографическим порядком. Или же можно ввести аксиому, ограничивающую число уровней в иерархии каким-то конечным числом n, и тогда n-мерного векторного пространства снова будет достаточно. Такой подход использован в работе Фишберна (Fishburn, 1971) «A Study of Lexicographic Expected Utility», но доступ к ней платный и её сложнее читать.

Важно, чтобы те, кто интересуется этикой, сфокусированной на страдании, знали, что аксиома непрерывности в vNM — вообще-то не аргумент против порогов. (И в общем, непрерывность выглядит менее убедительной, чем, скажем, полнота или транзитивность.) Можно ожидать, что идею о том, что экстремальное страдание нельзя перевесить ничем другим, будут называть иррациональной из-за того, что она нарушает “аксиомы рациональности” vNM. Так что будет хорошо, если у сторонников этой идеи будут легко доступные пояснения, почему это не так, чтобы не тратить слишком много времени на ложную тревогу. Лично я, наверное, не стал бы отстаивать эту позицию, но, несмотря на свой моральный антиреализм, я придерживаюсь принципа «то, что может быть уничтожено правдой, должно быть уничтожено», даже в сфере этики.

Дополнение. Саймон Кнутссон указал мне на то, что аксиома непрерывности обсуждалась в философской литературе: